完全平方公式教案

完全平方公式教案

作为一位杰出的教职工，往往需要进行教案编写工作，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。那么问题来了，教案应该怎么写？以下是小编精心整理的完全平方公式教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

学习目标：

1、会推导完全平方公式，并能用几何图形解释公式;

2、利用公式进行熟练地计算;

3、经历探索完全平方公式的推导过程，发展符号感，体会特殊一般特殊的认知规律。

学习过程：

(一)自主探索

1、计算：(1)(a+b)2 (2)(a-b)2

2、你能用文字叙述以上的结论吗?

(二)合作交流：

你能利用下图的面积关系解释公式(a+b)2=a2+2ab+b2吗?与同学交流。

(三)试一试，我能行。

1、利用完全平方公式计算：

(1)(x+6)2 (2)(a+2b)2 (3)(3s-t)2[来源:中.考.资.源.网]

(四)巩固练习

利用完全平方公式计算：

A组：

(1)( x+ y)2 (2)(-2m+5n)2

(3)(2a+5b)2 (4)(4p-2q)2

B组：

(1)( x- y2) 2 (2)(1.2m-3n)2

(3)(- a+5b)2 (4)(- x- y)2

C组：

(1)1012 (2)542 (3)9972

(五)小结与反思

我的收获：

我的疑惑：

(六)达标检测

1、(a-b)2=a2+b2+ .

2、(a+2b)2= .

3、如果(x+4)2=x2+kx+16，那么k= .

4、计算：

(1)(3m- )2 (2)(x2-1)2

(2)(-a-b)2 (4)( s+ t)2

一、学习目标

1.会运用完全平方公式进行一些数的简便运算

二、学习重点

运用完全平方公式进行一些数的简便运算

三、学习难点

灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算

四、学习设计

(一)预习准备

(1)预习书p26-27

(2)思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?[

(3)预习作业：1.利用完全平方公式计算

(1)(2) (3)(4)

2.计算：

(1) (2)

(二)学习过程

平方差公式和完全平方公式的逆运用

由 反之

反之

1、填空：

(1)(2)(3)

(4)(5)

(6)

(7)若，则k=

(8)若是完全平方式，则k=

例1计算：1. 2.

现在我们从几何角度去解释完全平方公式：

从图(1)中可以看出大正方形的边长是a+b，

它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以

大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.

则S= =

即：

如图(2)中，大正方形的边长是a，它的面积是 ;矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ;正方形HCGM的边长是b，其面积就是 ;正方形AFME的边长是 ，所以它的面积是 .从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积.也就是：(a-b)2= .这也正好符合完全平方公式.

例2.计算:

(1) (2)

变式训练：

(1) (2)

(3) (4)(x+5)2–(x-2)(x-3)

(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (6)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)

拓展：1、(1)已知，则=

(2)已知，求________，________

(3)不论为任意有理数，的值总是()

A.负数B.零C.正数D.不小于2

2、(1)已知，求和的值。

(2)已知，求的值。

(3).已知，求的值

回顾小结

1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。

2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。

（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．

甲的计算过程是：原式

乙的计算过程是：原式

丙的计算过程是：原式

丁的计算过程是：原式

（2）想一想， 与 相等吗？为什么？

与 相等吗？为什么？

学生活动：观察、思考后，回答问题．

【教法说明】 练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解 与 之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几方面：

（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运 ……此处隐藏16438个字……公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。

问：具备什么特征的多项是完全平方式?

答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。

问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

答：(1)式是完全平方式。因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

x2+6x+9=(x+3) 。

(2)不是完全平方式。因为第三部分必须是2xy。

(3)是完全平方式。25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

25x －10x +1=(5x－1) 。

(4)不是完全平方式。因为缺第三部分。

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式为：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y。

例1 把25x4+10x2+1分解因式。

分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍。所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式。

解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2。

例2 把1－ m+ 分解因式。

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式。

解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2。

解法2 先提出 ，则

1－ m+ = (16－8m+m2)

= (42－2·4·m+m2)

= (4－m)2。

三、课堂练习(投影)

1。填空：

(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2。

2。下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式。

(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4。

3。把下列各式分解因式：

(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2。

答案：

1。(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2。

2。(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式。

(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式。

(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2。

(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2。

(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2。

3。(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2。

　　四、小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

1。首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解。

2。在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2。

五、作业

把下列各式分解因式：

1。(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4。

2。(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4。

3。(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

4。(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3。

答案：

1。(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2。

2。(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2。

3。(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2。

4。(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2。

课堂教学设计说明

1。利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。

2。本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法。在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点。例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法。